Tendensi Sentral: Mean

Bacaan Selanjutnya ...

Tendensi Sentral: Mean

Mean atau rata-rata merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data. Definisi tersebut dapat di nyatakan dengan persamaan berikut:
Sampel:
$\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}\ {\rm atau}\ \overline{x}=\dfrac{\sum^n_{i=1}{x_i}}{n}\ {\rm atau}\ \overline{x}=\dfrac{\Sigma x}{n}$
Populasi:
$\mu =\dfrac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}\ {\rm atau}\ \mu =\dfrac{\sum^n_{i=1}{x_i}}{n}\ {\rm atau}\ \mu =\dfrac{\Sigma x}{n}$

Keterangan:
∑ = sigma = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
n = banyaknya data
$\bar x$ = nilai rata-rata sampel
μ = nilai rata-rata populasi
Mean dilambangkan dengan $\bar x$ (dibaca “x-bar”) jika kumpulan data ini merupakan contoh (sampel) dari populasi, sedangkan jika semua data berasal dari populasi, mean dilambangkan dengan μ (huruf kecil Yunani mu).
Sampel statistik biasanya dilambangkan dengan huruf Inggris, $\bar x$ , sementara parameter-parameter populasi biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani, misalnya μ

Nilai rata-rata (mean) dari data yang sudah dikelompokkan bisa dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
$\bar x=\dfrac{f_1x_1+f_2x_2+\dots .+f_nx_n}{f_1+f_2+\dots +f_n}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
f_i = frekuensi data ke-i
n = banyaknya sampel data
$\bar x$ = nilai rata-rata sampel

a. Mean untuk data tunggal
Contoh 1:
Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMP berikut ini:
2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9

Jawab:
$\overline{x}=\dfrac{\Sigma x}{n}=\dfrac{{2\ +4\ +5\ +6\ +6\ +7\ +7\ +7\ +8\ +9}}{10}=\dfrac{{61}}{10}=6.10$

Contoh 2:
Berapa rata-rata hitung pada tabel frekuensi berikut:

x_i	f_i
70	5
69	6
45	3
80	1
56	1

Catatan: Tabel frekuensi pada tabel di atas merupakan tabel frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu.

Jawab:

x_i	f_i	f_ix_i
70	5	350
69	6	414
45	3	135
80	1	80
56	1	56
Jumlah	16	1035

$\overline{x}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$
$\overline{x}=\dfrac{1035}{{\rm 16}}=64.6$

b. Mean dari data distribusi frekuensi/dari gabungan
Distribusi Frekuensi:
Rata-rata hitung dari data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan menggunakan formula yang sama dengan formula untuk menghitung nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan, yaitu:
$\bar x=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
f_i = frekuensi data ke-i
$\bar x$ = nilai rata-rata sampel
xi = nilai tengah kelas

Contoh 3:
Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80 mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel frekuensi. Berbeda dengan contoh 2, pada contoh ke-3 ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7 dan panjang kelas = 10).

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i
1	31 – 40	2
2	41 – 50	3
3	51 – 60	5
4	61 – 70	13
5	71 – 80	24
6	81 – 90	21
7	91 – 100	12
	Jumlah	80

Jawab:
Buat daftar tabel berikut, tentukan nilai pewakilnya (x_i) dan hitung f_ix_i.

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i	x_i	f_ix_i
1	31 – 40	2	35.5	71.0
2	41 – 50	3	45.5	136.5
3	51 – 60	5	55.5	277.5
4	61 – 70	13	65.5	851.5
5	71 – 80	24	75.5	1812.0
6	81 – 90	21	85.5	1795.5
7	91 – 100	12	95.5	1146.0
	Jumlah	80		6090.0

$\overline{x}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$

$\bar {x}=\dfrac{6090}{{\rm 80}}=76.1$
Catatan: Pendekatan perhitungan nilai rata-rata hitung dengan menggunakan distribusi frekuensi kurang akurat dibandingkan dengan cara perhitungan rata-rata hitung dengan menggunakan data aktualnya. Pendekatan ini seharusnya hanya digunakan apabila tidak memungkinkan untuk menghitung nilai rata-rata hitung dari sumber data aslinya.

Rata-rata Gabungan atau rata-rata terboboti (Weighted Mean)
Rata-rata gabungan (disebut juga grand mean, pooled mean, atau rata-rata umum) adalah cara yang tepat untuk menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel.
$\overline{x}=\dfrac{{\Sigma n}_ix_i}{\Sigma n_i}=\overline{x}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$

Contoh 4:
Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan rata-ratanya 145, 118, dan 162. Berapa rata-ratanya?

Jawab:
$\overline{x}=\dfrac{{\Sigma n}_ix_i}{\Sigma n_i}=\dfrac{\left({\rm 10}\right)\left({\rm 145}\right){\rm +}\left({\rm 6}\right)\left({\rm 118}\right){\rm +}\left({\rm 8}\right){\rm (162)}}{{\rm 10+6+8}}=143.9$